[자료구조] 그래프

그래프

• 그래프는 객체 사이의 연결 관계를 표현할 수 있는 자료 구조다.
• 대표적인 예는 지하철 노선도가 있다. 개인적으로 대단하다고 생각하고 있다.

 

 

 

그래프의 정의와 용어

• 정점(vertex): 위치라는 개념. (node라고도 부름)
• 간선(edge): 위치 간의 관계. 즉, 노드를 연결하는 선 (link, branch라고도 부름)
• 인접 정점(adjacent vertex): 간선에 의 해 직접 연결된 정점
• 정점의 차수(degree): 무방향 그래프에서 하나의 정점에 인접한 정점의 수
• 무방향 그래프에 존재하는 정점의 모든 차수의 합 = 그래프의 간선 수의 2배
• 진입 차수(in-degree): 방향 그래프에서 외부에서 오는 간선의 수 (내차수 라고도 부름)
• 진출 차수(out-degree): 방향 그래픙에서 외부로 향하는 간선의 수 (외차수라고도 부름)
• 방향 그래프에 있는 정점의 진입 차수 또는 진출 차수의 합 = 방향 그래프의 간선의 수(내차수 + 외차수)
• 경로 길이(path length): 경로를 구성하는 데 사용된 간선의 수
• 단순 경로(simple path): 경로 중에서 반복되는 정점이 없는 경우
• 사이클(cycle): 단순 경로의 시작 정점과 종료 정점이 동일한 경우

 

 

그래프의 특징

• 그래프는 네트워크 모델 이다.
• 2개 이상의 경로가 가능하다.
• 즉, 노드들 사이에 무방향/방향에서 양방향 경로를 가질 수 있다.
• self-loop 뿐 아니라 loop/circuit 모두 가능하다.
• 루트 노드라는 개념이 없다.
• 부모-자식 관계라는 개념이 없다.
• 순회는 DFS나 BFS로 이루어진다.
• 그래프는 순환(Cyclic) 혹은 비순환(Acyclic)이다.
• 그래프는 크게 방향 그래프와 무방향 그래프가 있다.
• 간선의 유무는 그래프에 따라 다르다.

 

 

 

그래프의 종류

• 무방향 그래프(Undirected Graph)
  • 무방향 그래프의 간선은 간선을 통해서 양 방향으로 갈 수 있다.
  • 정점 A와 정점 B를 연결하는 간선은 (A, B)와 같이 정점의 쌍으로 표현한다.
    • (A, B)는 (B, A) 동일
• 방향 그래프(Directed Graph)
  • 간선에 방향성이 존재하는 그래프
  • A -> B로만 갈 수 있는 간선은 <A, B>로 표시한다.
    • <A, B>는 <B, A>는 다름
• 부분 그래프(subgraph)
  • 어떤 그래프의 정점의 일부와 간선의 일부로 이루어진 그래프
• 연결 그래프(Connected Graph)
  • 무방향 그래프에 있는 모든 정점쌍에 대해서 항상 경로가 존재하는 경우
  • Ex) 트리(Tree): 사이클을 가지지 않는 연결 그래프
• 비연결 그래프(Disconnected Graph)
  • 무방향 그래프에서 특정 정점쌍 사이에 경로가 존재하지 않는 경우
• 완전 그래프(Complete graph)
  • 그래프에 속해 있는 모든 정점이 서로 연결되어 있는 그래프

 

 

 

그래프의 표현 방법

 

인접 행렬

• 인접 행렬이란 그래프의 정점을 2차원 배열로 만든 것이다.
• 정점 간에 직접 연결되어 있다면 1 , 아니라면 0을 저장한다.

장점

• 2차원 배열에 모든 정점의 간선 정보가 담겨있기 때문에 두 정점에 대한 연결을 조회할 때는 O(1)의 시간 복잡도를 가진다.
• 인접 리스트에 비해 구현이 쉽다.

단점

• 모든 정점에 대해 간선 정보를 입력해야 하므로 인접 행렬을 생성할 때는 O(n^2)의 시간 복잡도가 소요된다.
• 항상 2차원 배열이 필요하므로 필요 이상의 공간이 낭비된다.

 

인접 리스트

• 인접 리스트는 그래프의 노드를 리스트로 표현한 것이다. 주로 정점의 리스트 배열을 만들어서 관계를 설정한다.

장점

• 정점들의 연결 정보를 탐색할 때 O(n) 시간 복잡도가 소요된다.
• 필요한 만큼 공간을 사용하기 때문에 인접 행렬에 비해 상대적으로 공간의 낭비가 적다.

단점

• 특정 두 정점이 연결되어 있는지 확인하기 위해서는 인접 행렬에 비해 시간이 오래 걸린다.
• 구현이 인접 행렬에 비해 어렵다.

 

깊이 우선 탐색 알고리즘

depth_first_search(v):
	v를 방문되었다고 표시;
    for all u (포함) (v에 인접한 정점) do
    	if (u가 아직 방문되지 않았으면)
        	then depth_first_search(u)

 

 

 

너비 우선 탐색 알고리즘

breadth_first_search(v):
	v를 방문되었다고 표시;
    큐 Q에 정점 v를 삽입;
    while (Q가 공백이 아니면) do
    	Q에서 정점 w를 삭제;
      	for all u (포함) (w에 인접한 정점) do
        	if (u가 아직 방문되지 않았으면)
            	then u를 큐에 삽입;
                	 u를 방문되었다고 표시;

 

 

 

 

신장 트리

• 신장 트리란 그래프내의 모든 정점을 포함하는 트리다.
• 트리의 특수한 형태이므로 모든 정머들이 연결되어 있어야 하고 또한 사이클을 포함해서는 안된다.
• 신장 트리는 그래프에 있는 n개의 정점을 정확히 (n-1)개의 간선으로 연결하게 된다.

 

신장 트리 알고리즘

depth_first_search(v):
	v를 방문되었다고 표시;
    for all u (포함) (v에 인접한 정점) do
    	if (u가 아직 방문되지 않았으면)
        	then (v, u)를 신장 트리 간선이라고 표시;
            	depth_first_search(u)

 

 

최소 비용 신장 트리

• 최소 비용 신장 트리는 신장 트리 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 신장 트리를 말한다.

 

 

Kruskal의 MST(최소 비용 신장 트리) 알고리즘

// 입력: 가중치 그래프 G=(V, E), n은 노드의 개수
// 출력: Er, 최소비용 신장 트리를 이루는 간선들의 집합
kruskal(G):
	E를 w(e1)<=...<=w(e0)가 되도록 정렬한다.
    E1 <- θ; ecounter < - 0
    k <- 0
    while ecounter < (n - 1) do
    	k <- k + 1
        if Er(합집합){ek}이 사이클을 포함하지 않으면
        	then Er <- Er (합집합) {ek}: ecounter <- ecounter + 1
	return Er

 

 

 

Prim의 MST 알고리즘

// 입력: 네트워크 G=(V, E), S는 시작 정점
// 출력: Vr, 최소 비용 신장 트리를 이루는 정점들의 집합
Prim(G, s):
	Vr <- {s}; vcounter <- 1
    while vcounter < n do
    	(u, v)는 u(포함)Vr and v(미포함)Vr인 최저 비용 간선;
        if (그러한 (u, v)가 존재하면)
        	then Vr <- Vr(합)v; vcounter <- vcounter + 1
        else 실패
	return Vr

 

Prim(G,s):

	for each u(포함)V do
    	distance[u] <- INF
	distance[s] <- 0
    우선 순위큐 Q에 모든 정점을 삽입(우선순위는 dist[])
    for i <- 0 to n - 1 do
    	u <- delete_min(Q)
        화면에 u를 출력
        for each v(포함)(u의 인접 정점)
        	if (v(포함)Q and weight[u][v] < dist[v])
            	then dist[v] <- weight[u][v]

 

 

 

최단 거리 알고리즘

shortest_path(G, v):

	S <- {v}
    for 각 정점 w(포함)G do
    	distance[w] <- weight[v][w];
	while 모든 정점이 S에 포함되지 않으면 do
    	u <- 집합 S에 속하지 않는 정점 중에서 최소 distance 정점
        S <- S(합){u}
        for u에 인접하고 S에 있는 각 정점 z do
        	if distance[u] + weight[u][z] < distance[z]
            	then distance[z] <- distance[u] + weight[u][z];

 

 

 

Floyd의 최단 경로 알고리즘

floyd(G):

	for k <- 0 to n - 1
    	for i <- 0 to n - 1
        	for j <- 0 to n - 1
            	A[i][j] = min(A[i][j], A[i][k] + A[k][j])

 

 

 

위상 정렬 알고리즘

//input: 그래프 G = (V, E)
//output: 위상 정렬 순서

topo_sort(G)

for i <- 0 to n - 1 do
	if (모든 정점이 선행 정점을 가지면)
    	then 사이클이 존재하고 위상 정렬 불가;
	선행 점점을 가지지 않는 정점 v선택;
    v를 출력;
    v와 v에서 나온 모든 간선들을 그래프에서 삭제;